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2017年11月11日土曜日

『高校数学でわかる半導体の原理』読み始め

『高校数学でわかる半導体の原理』(竹内 淳):ブルーバックス|講談社BOOK倶楽部

第1章 半導体の秘密
第2章 キャリアの数は?
第3章 半導体の中の電流
第4章 pn接合とショットキー接合
第5章 世紀の発明 トランジスタ
第6章 光の世界へ

第1章 半導体の秘密
第2章 キャリアの数は?
いきなり難しくなる。半導体に於いてどれくらい電流が流れるかは重要な要素で、電流の大きさを決める大きなファクタは2
  • キャリアの数
  • 速さ
であるから、この章ではキャリアの数を求めようと思う。とのこと。
  • 伝導体にいる電子の数
  • 価電子帯にいるホールの数
を求めることが目標。

ということで平易な例を用いて読者の理解を促そうとするものの、いや、それは半導体とは関係ないし、という例を2つほど挙げたのち、p57でこれを電子で考え直してみようということになるが、いきなりの「量子力学で習った運動量 $p=\hbar k$ の関係を使うと」の表現となり(今の高校数学って量子力学教えるんですか?)、大学でも量子力学は専攻しなかったので、思考が停止となった。
  • 状態密度 - 伝導体のエネルギーごとの電子の状態の数
    • 周期境界条件
    • 状態密度 $D_e(E)$ は $\sqrt{E}$ に比例する
  • フェルミ-ディラック分布 $f(E)$  - あるエネルギーを持った電子がどれくらいいるかという分布
  • エネルギー分布 - エネルギーと電子分布の関係の概念
    • エネルギー$E$の関数になる。
    • 統計力学の力を借りて求められる。
    • 電子より大きなニュートン力学の対象となるような粒子、たとえば気体の分子のエネルギー分布はマクスウェル-ボルツマン分布で表せられる。
    • 電子はフェルミ-ディラック分布 $f(E)$ に従う。
      • フェルミとディラックは量子力学の立役者。
      • フェルミ-ディラック分布に従う粒子はフェルミ粒子 (フェルミオン) と呼ばれる。電子は代表的なフェルミ粒子。
      • あるエネルギー$E$を持つ粒子が存在する確率$f(E)$ は、$f(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_F}{K_bT}}}$と表せられる。
        $E_F$はフェルミ・エネルギーまたは化学ポテンシャルと呼ばれる量。
      • 絶対零度に限りなく近い場合、
        • エネルギー$E$がフェルミ・エネルギー $E_F$ よりも大きい場合は、$e$の指数部がとても大きな値となるため、フェルミディラック関数 $f(E)$ はゼロになる。
        • エネルギー$E$がフェルミ・エネルギー $E_F$ よりも小さい場合は、$e$の指数部が絶対値としては大きな負の値となるため、フェルミディラック関数 $f(E)$ は1、すなわち100%になる。
    • フェルミ-ディラック分布は電子のような量子力学的な粒子に当てはまる。
    • 電子にとってのポテンシャルエネルギーは主にクーロン力によるもの。
  • 伝導体の電子分布
    • 伝導体には自由電子が存在する。
    • 伝導体の底$E_c$からそれ以上のエネルギーにある自由電子の状態密度は、状態密度 $D_e(E)$ 。
    • 混ざり物ののない純粋な半導体、真性半導体は、フェルミエネルギーが伝導体の底と価電子帯の頂上とのちょうど中間にある。
    • 伝導体の電子の状態に電子が入る確率はフェルミ-ディラック分布 $f(E)$ で決まる。
    • 実際の電子の分布は、状態密度 $D_e(E)$ とフェルミ-ディラック分布 $f(E)$ の掛け算で決まる。
    • 伝導体の電子密度nは、$n=\int_{E_c}^{\infty} f(E)D_e(E)dE$になる。
  • ホールの電子分布
    • ホールの状態密度は電子とは上下が逆。
    • 「ホールの存在する確率 = 電子が存在しない確率」なので$1-f(E)$がホールの存在確立。
    • 価電子帯のホール密度$p$は、$p=\int_{-\infty}^{E_v} \left(1-f(E)D_h\right)(E)dE$ になる。
    • 0Kでは、価電子帯に存在するホールはゼロだが、300Kでは熱の影響によってフェルミ-ディラック分布の形が変わり、価電子帯にホールが存在するようになる。
    • 価電子帯のホールは、伝導体の電子と共に電気の伝導をになる重要な役割を果たす。
  • 温度が上がるほどフェルミ-ディラック分布の形は変わり、伝導体の電子や価電子帯のホールの数は増え、電気は流れやすくなる。
  • 伝導体の電子や価電子帯のホールの密度、キャリア密度の値が、電気が流れやすいかどうかを決める最も重要な量の一つ。
  • ->ここまでがp71までの範囲。

第3章 半導体の中の電流
第4章 pn接合とショットキー接合
第5章 世紀の発明 トランジスタ
第6章 光の世界へ

とりあえず、学生時代にまったく触れなかった量子力学が少し分からないと、この先の理解が出来ないということに気付いた。深層学習の方に興味が向いているので、半導体の方はしばらくお預け。

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