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2019年1月6日日曜日

二次遅れ要素のζ=1の場合の単位ステップ応答-部分分数展開について

2次遅れ要素の伝達関数が
$$G(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega^2}$$
で与えられている。$\zeta=1$の場合のステップ応答を求める。

という問題があり、これの展開をどうやっているのかが良く分からなかったので調べた。

伝達関数の極(伝達関数の特性方程式(分母多項式=0)の解)は、二次方程式の解の公式から、$p_1,p_2=-\zeta\omega\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$。$\zeta=1$なので、$p_1,p_2=-\omega$の重根となる。

分からなかったのは、ここの部分分数展開。
$$U(s)G(s)=\frac1s\frac{\omega^2}{{(s+\omega)}^2}=\frac1s-\frac1{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{{(s+\omega_n)}^2}$$

検索してみたところ、説明をして下さっている方があった。
みなみのホームページ - 数学資料 
部分分数分解のやりかた (2013/01/20)
部分分数分解をスマートに行うHeavisideの展開定理についてのまとめです. 複素関数論とのつながりについても少しだけ脚注で言及しています.
上記リンクの資料「部分分数分解のやりかた」の中で、分数関数は、分母の各因数に対して、その次数の項から、次数 1 の項までがひとつづつある形に部分分数分解されると書いてある。自分の記憶には全く無かったのだけれど、これは既に証明されていることのようで、説明なしに使って良いらしい。各種資料で、この形になると説明なしに書かれていて何故だろうか?と思ったがそういうことだった。更に係数の求め方も同資料の2,3ページに記載があるが、重根の場合には微分と階乗が出てきて、自分にはスムーズに理解が出来ないので、通分と恒等式による初等的な方法で済ませてしまおうと思う。(Heavisideの展開定理は重根無しの簡単な方法だけ使わせて貰う。)
$$\frac{\omega^2}{{s(s+\omega)}^2}=\frac as-\frac b{s+\omega_n}-\frac c{{(s+\omega_n)}^2}$$
として、計算を行ったら、何度も計算間違いをしたけれども、最後は正しく上記の結果を求められた。

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